近期我发布了一篇关于射频术语简介的文章并决定举例说明其中的一个术语：带宽。在线研究时，这一主题可能会特别令人困惑，因为如果无法通过复杂的示波器设置来查看波形，就无法看到其效果，那么这个术语也就没有意义了。本文旨在说明基础频率滤波器的工作原理，进而衍生到较为复杂的设计，但并不涉及复杂的数学知识。
这是我的Maker.io帖子，关于制作可获取任何音频输入的物理电路，用户可以通过开关选择他们希望在输出上听到的音频频率范围。其中使用的是文章末尾提到的巴特沃斯滤波器：音频分离器。有时候，借助物理示例比文字阅读更易理解，这就是我将其链接到这里的原因。
一阶滤波器：低通、高通和带通
有时，应答器/收发器产生的频率在特定应用中并无用处，或纯粹是不需要的噪声。这就是许多器件通过不同的滤波器来过滤特定频率的原因。“一阶”一词在数学上只是表示，对所使用的任何变量而言，都只有一个指数。
在电子物理世界中，它指使用电阻-电容网络或电阻-电感网络的无源滤波器。“无源”表示系统中未添加额外的电源，因此电压只能因物理损耗（如热或任何其他形式的能量）而下降 。这些滤波器通常与高阶（有源）滤波器配合使用，以提高滤波器的整体效果。
电阻 - 电容（ RC ）低通和高通滤波器
本文将只讨论RC网络，因为我并不常用RL网络进行滤波，不过完整的设计通常会根据应用的要求将二者组合使用。以下是RC低通滤波器的电路图：
电阻允许较慢的频率通过，但会伴随一定的损耗，而电容可能没有时间充分充电以影响较低频率。R和C的值非常重要，但R值的选择几乎始终取决于是需要更多的电压还是需要更多的电流。R值的选择也是为了使C接近典型的电容值。然后，根据给定的要开始“截止”的频率来计算C值。计算方程式如下：
假设需要1500Hz的截止频率和100欧姆的电阻，可得出以下电容值：
我使用LTSpice来模拟频率扫描：点击Run并选择AC sweep即可。我用了1000个数据点，从1Hz扫描到5000Hz（5kHz），并利用线性扫描得到下图。
我将X轴改为对数刻度，以便于查看。我测量了交流电压，也就是位于14dBV处的蓝线。绿线代表滤波器的反应，此外还有一个位于1500Hz处的垂直测量值，也就是-3dB滚降点的位置。换言之，这就是电压开始随着频率的增加而急剧下降的位置。
以下是高通滤波器的电路图：
计算公式保持不变，但交换电容和电阻的位置。电容行为通常被描述为“拦截”较低频率而“通过”较高频率。在电气方面，它实际上是在交替的模式中充电和放电，但为了直观起见，通常以另一种方式描述该标准，以便新手理解。在本例中，电容会拦截低于1500Hz的频率，并通过1500Hz以上的频率。
同样地，我使用了1000个数据点的交流扫描，并从1kHz扫描到10kHz。其幅度在1500Hz以下急剧下降，并缓慢恢复到接近14dB的水平（本例中存在一些损耗）。如果将这两个滤波器相结合，就得到了带通滤波器。通常，高通滤波器在前，低通滤波器在后（但也并非始终如此）。假设我们需要1500Hz到5000Hz的信号。高通滤波器的截止电容保持不变，而低通滤波器需要0.32uF电容。以下是电路图：
频率响应如下：
注意，频率并不会接近最初的14dB点，因为电路不是有源电路，所以会产生大量损耗。我标记了滤波器两端的截止点，实际上只允许9.1至9.9 dBV或2.8至3.1 V通过输出端。
高阶滤波器
二阶及以上滤波器更加高效，因为其中增加了外部电源。有源滤波器不仅可以提高功率，还可以帮助信号保持在某一电压阈值以上，直到截止点。此外，在-3dB滚降点之后，它还能更好地衰减信号。下图有助于理解我所表述的意思：
所有的彩色线均始于5dB，只不过我不希望它们重叠在一起。在电子学的世界里，要达到黄线所示的完美滤波是不可能的。但很有可能通过使用高阶滤波器使线条变得更加陡峭，从而更加接近此效果。诸如此类的图形通常以“每十倍频率降的分贝”来描述截止的陡峭程度。实际上表达的是，在-3dB截止点之后的线路斜率。获得较高的斜率通常是良好滤波器的目标。这是否意味着计算更加困难？如果你想做电路分析，那答案是肯定的，但如果你只是想建立电路，那么频率的计算实际上是不变的。以下是三阶低通滤波器的示意图，这称为同相巴特沃斯滤波器设计：
我给电路的各“部分”加上了标签，这样更容易理解。每个低通RC网络均使用相同的数值计算方式。
这意味着所有电容的值均相同，且相应的电阻值也相同（并非增益电阻）。从研究来看，当增益为2时，增益的Ra和Rb的值通常相等。同样，不同的低通网络中使用的其他电阻的选值方法与一阶滤波器相同，然后根据给定的所需截止频率计算电容值。为了显示结果，我决定使用10kHz的截止频率运行模拟。我经常选择10k欧姆的电阻，因为我希望电压保持在同一水平上。基于这些值计算得出，电容应为1.59nF。我选择1k欧姆作为Ra和Rb的值。然后再次使用交流扫描：采用十倍扫描，每十倍扫描5000点，从1kHz扫描到50kHz。以下是标有各数值的电路图：
此外，我还使用了-5和5VDC电源，以V+和V-表示。
下图是进行交流扫描后，常规无源滤波器与三阶滤波器的比较：
蓝线表示有源滤波器，绿线表示设有相同截止频率的无源滤波器。请注意，蓝线保持恒定的时间更长，且更接近10kHz的截止点（这一点非常好）。另外，需注意10kHz点之后斜率的显著差异，蓝色滤波器的性能要好得多。高通滤波器看起来完全一样，只不过将10k欧姆电阻和电容进行了交换。
要构建带通滤波器，只需将一个滤波器馈入另一个滤波器，即可将二者相结合。唯一的建议是在级间以及输出与负载之间增加一个单位增益缓冲器。该缓冲器在第一个运算放大器的输出和第二个运算放大器的输入之间充当“阻抗桥”，并可提高电流从输入到输出的效率。从数学的角度来说，一阶滤波器更改了下一级的阻抗。以下是具有10kHz低频截止和50kHz高频截止的带通滤波器的最终电路。
最后，以下是使用交流扫描的模拟图：采用十倍扫描，每十倍扫描5000个数据点，从8kHz扫描到80kHz。蓝线表示未滤波的基本信号。红线表示无源滤波器响应。绿线表示有源滤波器响应。
我在最后添加了一个分压器，因为低通部分的运算放大器实际上将信号再次放大到很高的电压电平上（两个滤波器使增益复合）。如你所见，有两个单位增益缓冲器分别桥接在高通滤波器和低通滤波器之间，以及低通滤波器的输出和分压器之间。
该图再次表明有源滤波器相对于无源滤波器的性能优势。稳定性和衰减能力对滤波器而言很重要。这些并不是唯一可用的滤波器（还有性能更加优越的先进滤波器），但它们在技术上的工作原理都是一样的。得出的结果将会与我所展示的图形高度相似。在超高频率下，情况也会变得更加复杂，因为理想的组件实际上可能会因谐振频率而开始表现出不同的行为。